PANGKAT DAN JABATAN

Jenderal TNI Muhammad Andika Perkasa, S.E., M.A., M.Sc., M.Phil., Ph.D

     Ternyata yang punya pangkat bukan cuma tentara dan polisi, dan yang punya akar bukan hanya pohon. Bilangan pun juga punya pangkat dan akar. Tentu bukan jendral maupun inspektur. Bukan pula akar serabut apalagi akar masalah, meskipun seringkali jadi masalah, apalagi pas dengar kata ulangan matematika, banyak yang langsung angkat tangan 🙋. Kalian hebat 👍. Pangkatnya bilangan akan kita bahas pada artikel ini. Bahagia belajar!

BENTUK PANGKAT

Definisi Bentuk Pangkat

    a pangkat n didefinisikan sebagai perkalian berulang bilangan a sebanyak n kali

Sifat-sifat Bentuk Pangkat

• amx an = am+n
• am : an = am-n,  untuk a ≠ 0
• 〈am〉n = amn
• 〈ab〉m = am bm
• 〈a/b〉m = am/bm , untuk b ≠ 0
• a-n = 1/an atau an = 1/ a-n

Perkalian Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:

• am×an = am+n 

Untuk lebih memahami sifat tersebut, perhatikan contoh berikut:

    2³×2⁴ = 〈2×2×2〉  ×   〈2×2×2×2〉

              = 2×2×2×2×2×2×2

              = 2⁷

 Baca Juga : Badai Menghadang di Gunung Kembang

Pembagian pada Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:

• am:an = am-n 

Untuk lebih memahami sifat tersebut, perhatikan contoh berikut:

    2⁵:2³ = 〈2×2×2×2×2〉  :   〈2×2×2〉

             = 〈2×2×2×2×2〉  :   〈2×2×2〉

             = 2²

Ice breakingnya nonton video ini ya

Baca Juga : Barisan Aritmetika

FUNGSI EKSPONEN

1. Pengertian Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah jenis fungsi matematika di mana variabel independen muncul sebagai eksponen 〈pangkat〉 dari sebuah bilangan tetap. Bentuk umum fungsi eksponen adalah:

$$f(x) = a \cdot b^x$$

di mana:

• $a$ adalah konstanta 〈koefisien〉,
• $b$ adalah basis eksponen 〈harus lebih dari 0 dan tidak sama dengan 1〉,
• $x$ adalah variabel eksponen.

2. Sifat-Sifat Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen memiliki beberapa sifat penting, di antaranya:

• Pertumbuhan Cepat: Jika $b>\mathrm{1,\; fungsi\; eksponen\; tumbuh\; sangat\; cepat\; saat }$$\mathrm{x\; meningkat.}$
• Penyusutan Cepat: Jika $0 < b < 1$, fungsi eksponen menurun dengan cepat seiring peningkatan $x$.
• Nilai Positif: Fungsi eksponen $f(x) = a \cdot b^x$ selalu positif, terlepas dari nilai $x$.
• Tidak Memotong Sumbu x: Fungsi eksponen tidak pernah memotong sumbu x, tetapi mendekatinya ketika $x$ menuju negatif tak terhingga 〈untuk kasus $b > 1$〉 atau menuju tak terhingga positif 〈untuk kasus $0 < b < 1$〉.

3. Grafik Fungsi Eksponen

Grafik dari fungsi eksponen memiliki karakteristik sebagai berikut:

• Jika $a>\mathrm{0\; dan }$$b > 1$, grafiknya menaik dari kiri ke kanan.
• Jika $a > 0$ dan $0 < b < 1$, grafiknya menurun dari kiri ke kanan.
• Jika $a < 0$, grafiknya akan terbalik dibandingkan kasus $a > 0$.

4. Aplikasi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen sering muncul dalam berbagai aplikasi, seperti:

• Pertumbuhan Populasi: Model pertumbuhan populasi sering menggunakan fungsi eksponen, di mana populasi bertambah dengan laju proporsional terhadap jumlah populasi saat ini.
• Radioaktifitas: Peluruhan zat radioaktif dapat dimodelkan dengan fungsi eksponen, yang menggambarkan penurunan jumlah zat seiring waktu.
• Keuangan: Bunga majemuk dalam keuangan juga dapat dimodelkan dengan fungsi eksponen.

 Contoh Soal 

Misalkan sebuah bakteri memiliki populasi awal sebanyak 100 bakteri dan populasi bakteri tersebut bertambah dua kali lipat setiap jamnya. Tentukan populasi bakteri setelah 5 jam.

• Penyelesaian: Fungsi eksponen untuk kasus ini adalah $P(t) = 100 \cdot 2^t$, di mana $P(t)$ adalah populasi bakteri setelah $t$ jam. $$P(5) = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200$$Jadi, setelah 5 jam, populasi bakteri adalah 3200 bakteri.

Simak juga : PENDAKIAN GUNUNG PRAU VIA PATAK BANTENG

 Contoh Perkembangan Populasi Menggunakan Fungsi Eksponen 

Kasus: Perkembangan Populasi Ikan di Sebuah Danau

Misalkan terdapat sebuah danau yang awalnya memiliki populasi ikan sebanyak 500 ekor. Penelitian menunjukkan bahwa populasi ikan tersebut bertambah dengan laju pertumbuhan 8% per tahun. Kita ingin mengetahui populasi ikan setelah 10 tahun.

Model Eksponen

Untuk memodelkan perkembangan populasi ikan ini, kita bisa menggunakan fungsi eksponen dengan bentuk:

$$P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t$$

di mana:

• $P(t)$ adalah populasi setelah $t$ tahun,
• $P_0$ adalah populasi awal 〈500 ekor〉,
• $r$ adalah laju pertumbuhan 〈8% atau 0,08〉,
• $t$ adalah waktu dalam tahun.

Menghitung Populasi Setelah 10 Tahun

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan:

$$P(t) = 500 \cdot (1 + 0,08)^{10}$$
$$P(10) = 500 \cdot (1,08)^{10}$$

$$P(10) \approx 500 \cdot 2,1589$$
$$P(10) \approx 1079,45$$

Jadi, setelah 10 tahun, populasi ikan di danau diperkirakan akan menjadi sekitar 1079 ekor.

 SOAL LATIHAN 

1.      Sederhanakan ke dalam bentuk pangkat bulat positif:

a.       5a² × 4a^–3 × 3a⁴!

b.

 c.       (2p^–2q⁵)⁴ × (8p²q^–3)²

2.        Sederhanakan ke dalam bentuk akar dari  

        

3.     

Pak  Demplun menabung di Bank Toyib sebesar Rp1.000.000,00 dengan bunga majemuk 2% per bulan. Hitunglah jumlah tabungan Pak Demplun setelah 6 bulan!

 

 

 

 

 

4.      Jika f〈x〉 = 3^3x–3 + 3, tentukan nilai dari

a.       f〈1〉

b.       f〈2〉

5.   

Misalkan terdapat sebuah danau yang awalnya memiliki populasi ikan sebanyak 50000 ekor. Penelitian menunjukkan bahwa populasi ikan tersebut bertambah dengan laju pertumbuhan 8% per tahun. Kita ingin mengetahui populasi ikan setelah 10 tahun. Coba kalian yang menghitungnya!

6.      Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

a.    3^2x+5 = 1

b.    4^x–4 = 8^x+8

c.     5^x²+5x+8 = 25

    

QUIZ TIME