DERET ARITMETIKA: Sejarah, Pengertian dan Pembahasan

 

Sejarah Deret Aritmetika

    Tak banyak catatan sejarah yang menuliskan tentang deret aritmetika. Namun, beberapa sumber menyebutkan tentang Carl Friedrich Gauss, pakar matematika dan IPA asal Jerman yang pertama kali mencari tahu akan deret aritmetika.

Carl Friedrich Gauss

    Saat itu, Carl Friedrich Gauss masih duduk di bangku Sekolah Dasar (SD). Konon, dirinya menemukan kembali metode ini untuk menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 hingga 100, dengan mengalikan n/2 pasangan bilangan dijumlahkan dengan nilai masing-masing pasangan n+1.

Pengertian Deret Aritmetika

    Deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn. Sedangkan aritmetika seperti yang telah dijelaskan pada postingan sebelumnya adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika.

Jumlah balok setiap baris membentuk barisan aritmetika.
Jumlah balok dari semua baris adalah deret aritmatika.

Baca juga : Barisan Aritmetika

Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

    U1 + U2 + U3 + ... + Un dengan n bilangan asli

Rumus deret aritmetika:

    Sn = ½ n (a + Un)

    atau

    Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)

Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
Un = suku ke-n
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh soal :

1. Terdapat sebuah barisan bilangan 3, 7, 11, 15, .... Berapakah jumlah 25 suku pertama dari barisan tersebut?

Jawab:

Suku pertama = U1 = 3
Suku kedua    = U2 = 7
beda (selisih) = U2 - U1 = 7 - 3 = 4
n = 25

Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
      = ½.25 (2.3 + (25 – 1)4)
      = ½.25 (6 + (24)4)
      = ½.25 (6 + 96)
      = ½.25 (102)
      = ½.2550
      = 1275

2. Cemplon yang baik hati dan suka menabung hendak menabung untuk dijadikan uang saku studytour di sekolahnya. Pada bulan pertama Cemplon menabung sebesar Rp100.000,00, bulan kedua Rp110.000,00 dan begitu seterusnya.

a. Berapa uang yang akan ditabungkan Cemplon pada bulan kesepuluh?

b. Berapa jumlah tabungan cemplon setelah menabung selama 10 bulan?

Diketahui:
U1 = a = 100.000
U2 = 110.000
b = U2 - U1 = 110.000 - 100.000 = 10.000

Jawab:

a. Pertanyaan a berkaitan dengan barisan aritmetika yaitu tentang suku kesepuluh (U10)

U10 = a + (n - 1)b

       = 100.000 + (10 - 1)10.000

       = 100.000 + (9)10.000

       = 100.000 + 90.000

       = 190.000

b. Pertanyaan b berkaitan dengan deret aritmetika yaitu S10 = U1+U2+U3+...+U10

Sn = ½ n (a + Un)

      = ½.10 (100.000 + 190.000)

      = 5 (290.000)

      = 1.450.000

Jadi uang yang ditabungkan cemplon pada bulan kesepuluh adalah Rp190.000,00 dan selama 10 bulan Cemplon telah menabung sebanyak Rp.1.450.000,00.

Baca Juga : CAMPING DI BUKIT TRIANGGULASI

Latihan Soal

3. Sebuah deret aritmetika 5 + 8 + 11 + 14 + ... tentukan jumlah 14 suku pertama dari deret tersebut!

4. Suku ke-13 suatu barisan aritmetika adalah 38 dan suku ke-17 nya adalah 50. Berapakah jumlah 10 suku pertama pada barisan tersebut?

5. Pak Dempul menghitung cabai yang dipetiknya setiap hari. Ternyata banyaknya cabai yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 45 + 5n. Bantu Pak Dempul menghitung banyaknya cabai yang telah dipetik selama 10 hari pertama!