TRIGONOMETRI - Sudut Berelasi dan Persamaan Trigonometri

 BERMAIN TALI

Suatu sore yang agak terlalu tenang untuk ukuran desa, Tika dan temannya sedang bermain lompat tali di bawah pohon mangga yang buahnya lebih sering jatuh sendiri daripada dipetik.

Tapi ini bukan tali biasa.

Tali itu panjangnya… kira-kira sepanjang usus kelinci yang lagi stretching habis yoga.

Warnanya merah mencolok, seperti mi instan yang kecebur ke dalam saus sambal level 10.

“Pegang yang kuat ya!” kata Tika.

Ujung tali satu dipegang Tika.

Ujung satunya lagi… entah kenapa diikat ke pohon mangga, yang dari tadi kelihatan agak mencurigakan, seolah tahu sesuatu.

Temannya mulai menggerakkan tali.

Naik… turun… naik lagi… turun lagi…

Gerakannya makin lama makin halus, seperti gelombang.

Tika yang awalnya cuma niat main, tiba-tiba berhenti.

“Eh… ini kayak pernah lihat deh…”

“Lihat apa?” tanya temannya, masih sibuk bikin tali bergelombang kayak ular yang habis minum kopi.

Tika menyipitkan mata.

Tali yang bergerak itu membentuk pola yang familiar… naik ke puncak… turun ke lembah… lalu naik lagi…

“AHA!”

Temannya kaget, hampir tersandung tali sendiri.

“Ini… ini kayak grafik matematika!”

“Grafik apa?”

“Yang naik turun itu loh… yang kayak gelombang… yang bikin aku dulu mikir ‘ini gambar atau EKG jantung?’”

Tika langsung ambil HP.

“Jangan gerak! Aku foto!”

Jekrek.

Mereka berdua melihat hasil fotonya.

Dan di situlah keanehan dimulai.

Di layar HP, tali itu tidak terlihat seperti tali biasa.

Garisnya halus, rapi, seperti digambar pakai penggaris yang terlalu sempurna untuk ukuran dunia nyata.

Lebih aneh lagi…

titik-titik tertentu di tali itu tampak memiliki “ketinggian” yang sama, walaupun posisinya berbeda.

“Eh… ini yang di sini sama yang di sana kok tingginya sama?”

“Iya ya… padahal jaraknya jauh…”

Tika mulai panik kecil.

“Jangan-jangan… kita nggak lagi di dunia nyata.”

Tiba-tiba angin berhembus.

Pohon mangga bergoyang.

Dan tali itu… bergerak sendiri.

Naik… turun… dengan pola yang semakin jelas.

Seolah-olah sedang menggambar sesuatu.

Perlahan, pola itu membentuk gelombang yang sangat familiar.

Temannya berbisik,

“Tika… itu… itu grafik sin x bukan sih?”

Tika diam.

“Kalau ini beneran grafik…”

“Berarti… titik di sini sama kayak titik di sana…”

Mereka saling pandang.

“Berarti… sudut yang berbeda… bisa punya nilai yang sama?”

Angin berhenti.

Tali ikut diam.

Lalu dari arah pohon mangga, terdengar suara pelan:

“Selamat datang di dunia sudut berelasi trigonometri.”

Tika: “…pohon mangga bisa ngomong?”

Temannya: “Aku lebih khawatir kenapa dia ngerti trigonometri.”

Ternyata, seperti gelombang pada tali tadi, grafik sin x memiliki pola berulang.

Pada titik-titik tertentu, meskipun sudutnya berbeda, nilai sinusnya bisa sama.

Fenomena inilah yang disebut sebagai sudut berelasi.

SUDUT BERELASI

A. Pengertian Sudut Berelasi
Sudut berelasi adalah sudut-sudut yang memiliki hubungan tertentu sehingga nilai fungsi trigonometrinya bisa ditentukan dari sudut lain yang sudah diketahui (biasanya sudut istimewa seperti 0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

Intinya: kita “menghubungkan” sudut yang sulit ke sudut yang lebih mudah.

---

B. Konsep Dasar
Dalam lingkaran satuan, setiap sudut punya posisi tertentu (kuadran), dan tanda (positif/negatif) dari sin, cos, dan tan bergantung pada kuadrannya.

Kuadran I (0° – 90°)
Semua positif: sin +, cos +, tan +

Kuadran II (90° – 180°)
Sin +, cos –, tan –

Kuadran III (180° – 270°)
Sin –, cos –, tan +

Kuadran IV (270° – 360°)
Sin –, cos +, tan –

Tips cepat: “Semua → Sin → Tan → Cos” (dari kuadran I ke IV)

---

C. Jenis-Jenis Sudut Berelasi

1. Sudut (90° – θ)
   sin(90° – θ) = cos θ
   cos(90° – θ) = sin θ
   tan(90° – θ) = cot θ

Contoh:
sin 60° = cos 30°

---

2. Sudut (90° + θ)
   sin(90° + θ) = cos θ
   cos(90° + θ) = –sin θ
   tan(90° + θ) = –cot θ

Contoh:
cos 120° = –sin 30° = –1/2

---

3. Sudut (180° – θ)
   sin(180° – θ) = sin θ
   cos(180° – θ) = –cos θ
   tan(180° – θ) = –tan θ

Contoh:
sin 150° = sin 30° = 1/2

---

4. Sudut (180° + θ)
   sin(180° + θ) = –sin θ
   cos(180° + θ) = –cos θ
   tan(180° + θ) = tan θ

Contoh:
tan 210° = tan 30° = 1/√3

---

5. Sudut (360° – θ)
   sin(360° – θ) = –sin θ
   cos(360° – θ) = cos θ
   tan(360° – θ) = –tan θ

Contoh:
cos 330° = cos 30° = √3/2

---

D. Langkah Cepat Menentukan Nilai

1. Ubah sudut ke bentuk tambah/kurangi sudut dibawah 90°
2. Tentukan kuadrannya
3. Tentukan tanda (+ atau –)
4. Gunakan nilai sudut istimewa

---

E. Contoh Soal

1. Tentukan nilai sin 150°
   150° = 180° – 30°
   sin 150° = sin 30° = 1/2

---

2. Tentukan nilai cos 210°
   210° = 180° + 30°
   cos 210° = –cos 30° = –√3/2

---

3. Tentukan nilai tan 340° jika tan 20° adalah p
   340° = 360° – 20°
   tan 340° = –tan 20° = –p

---

F. Ringkasan Super Cepat

Sudutnya diubah → lihat bentuknya → tentukan tanda → ambil nilainya

G. Grafik Fungsi Trigonometri

Melalui grafik fungsi y = sin x di atas, kita dapat melihat bahwa nilai sin 150° sama dengan sin 30°, dan sin 300° berbalik nilai dengan sin 60°.

Setelah membantu Tika memahami pola gelombang pada tali, akhirnya pohon mangga itu berhenti berbicara… walaupun sesekali masih bergoyang ketika mendengar dangdutan dari hajatan tetangga.

Kini Tika mulai menyadari bahwa sudut-sudut dalam trigonometri ternyata tidak berdiri sendiri. Ada sudut yang berbeda posisi, tetapi memiliki hubungan nilai yang sangat erat. Dengan memahami pola pada grafik sinus dan aturan sudut berelasi, menentukan nilai trigonometri tidak lagi terasa seperti menebak kode WiFi tetangga.

Nah, supaya kemampuanmu membaca pola dan menentukan nilai sudut semakin kuat, sekarang saatnya mencoba beberapa latihan soal. Siapkan logika, ketelitian, dan kalau perlu… pastikan pohon mangga di sekitarmu tidak ikut memberi soal tambahan 😄

 LATIHAN SOAL 

1. Jika Sin 10° = a dan sin 80° = b, tentukan:

a. Sin 100°
b. Cos 10°
c. Cos 170°
d. Sin 280°
e. Cos 350°
f. Sin 190°
g. Tan 10°

2. Satu dulu cukup kah? Oh tentu tidak!

3. Jika Sin 20° = p, berapakah nilai dari Cos 250°?
    clue : lebih mudah dengan memperhatikan grafik sin x dan cos x)

4. Buktikan bahwa Sin² ⍺ + Cos² ⍺ = 1!

 

 

 PERSAMAAN TRIGONOMETRI 

A. Pengertian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri seperti sinus (sin), cosinus (cos), atau tangen (tan), dan nilai yang dicari adalah sudut yang memenuhi persamaan tersebut.

Contoh:

• sin x = 1/2
• cos x = √3/2
• tan x = 1

Tujuan utama:
menentukan semua nilai sudut yang memenuhi persamaan.

---

B. Mengingat Grafik Dasar Trigonometri

Fungsi trigonometri memiliki sifat periodik (berulang).

• Grafik sin x dan cos x berulang setiap 360°
• Grafik tan x berulang setiap 180°

Karena itu, penyelesaian persamaan trigonometri biasanya memiliki lebih dari satu jawaban.

---

C. Langkah Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

1. Tentukan sudut utama
   Cari sudut istimewa yang sesuai.
2. Tentukan kuadran yang memenuhi
   Lihat tanda positif atau negatif fungsi trigonometrinya.
3. Tentukan semua penyelesaian
   Gunakan sifat periodik.

---

D. Persamaan Sinus, Cosinus dan Tangen

1. Jika Sin x = Sin 𝛼, maka
   x = 𝛼 + k.360° atau
   x = (180° - 𝛼) + k.360°
2. Jika Cos x = Cos 𝛼, maka
   x = 𝛼 + k.360° atau
   x = -𝛼 + k.360°
3. Jika Tan x = Tan 𝛼, maka
   x = 𝛼 + k.180° 
   
   dengan k = 0, 1, 2, ...

E. Contoh soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin (3x +15°) = ½√2, 0° ≤ x ≤ 360°

Penyelesaian:

Sin yang bernilai ½√2 adalah Sin 45°

Kita gunakan rumus pertama:

Sin (3x + 15°) = Sin 45°

3x + 15° = 45° + k.360°

3x           = 45° - 15° + k.360° (memindahkan 15° ke ruas kanan)

3x           = 30° + k.360°          (mengurangkan 45°dengan 15°)

$$x=\frac{30^\circ+360^\circ k}{3}$$(memindahkan 3 pada 3x ke ruas kanan menjadi pembagian)

x = 10° + k.120° (membagi 30° dengan 3 dan 360° juga dengan 3)

Masukkan nilai k = 0, 1, 2, 3, 4,...

k = 0 → x = 10° + 0.120° = 10° + 0 = 10°

k = 1 → x = 10° + 1.120° = 10° + 120° = 130°

k = 2 → x = 10° + 2.120° = 10° + 240° = 250°

k = 3 → x = 10° + 3.120° = 10° + 360° = 370°

karena jawaban terakhir 370° sudah melebihi ketentuan soal 0° ≤ x ≤ 360°, maka jawaban terakhir tidak kita gunakan pada himpunan penyelesaian dan penghitungan tidak kita lanjutkan ke k = 4 dst.

Rumus kedua

Sin (3x + 15°) = Sin 45°

3x + 15° = (180° - 45°) + k.360°

3x + 15° = 135° + k.360°          (Mengurangkan 180° dengan 45°)

3x           = 135° - 15° + k.360° (memindahkan 15° ke ruas kanan)

3x           = 120° + k.360°          (mengurangkan 135°dengan 15°)

$$x=\frac{{120}^{\circ }+{\mathrm{k.360}}^{\circ }\mathrm{<br>}}{3}$$(memindahkan 3 pada 3x ke ruas kanan menjadi pembagian)

x = 60° + k.120° (membagi 120° dengan 3 dan 360° juga dengan 3)

Masukkan nilai k = 0, 1, 2, 3, 4,...

k = 0 → x = 60° + 0.120° = 60° + 0 = 60°

k = 1 → x = 60° + 1.120° = 60° + 120° = 180°

k = 2 → x = 60° + 2.120° = 60° + 240° = 300°

k = 3 → x = 60° + 3.120° = 60° + 360° = 420°

karena jawaban terakhir 420° sudah melebihi ketentuan soal 0° ≤ x ≤ 360°, maka jawaban terakhir tidak kita gunakan pada himpunan penyelesaian dan penghitungan tidak kita lanjutkan ke k = 4 dst.

Himpunan Penyelesaian:

HP = {10°, 60°, 130°, 180°, 250°, 300°}

 LATIHAN SOAL 

5. Tentukan nilai x jika Sin (2x - 10°) = ½√3, 0° ≤ x ≤ 360°

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Cos (3x - 15°) = ½, 0° ≤ x ≤ 360°

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Tan (3x) = 1, 0° ≤ x ≤ 360°