FUNGSI RASIONAL ♚

JANGAN MEMBANTAH ATURAN DARI SANG RAJA♚

Di sebuah galaksi jauh, terdapat sebuah planet unik bernama Planet Sigma-7. Planet itu terkenal sangat maju dalam ilmu matematika. Bahkan, jalan raya berbentuk grafik fungsi, jam dinding memakai persamaan kuadrat, dan anak-anak kecil bermain lempar bola sambil menyebut tabel trigonometri.

Namun di balik kemajuan itu, ada satu aturan paling aneh sekaligus paling ditakuti oleh seluruh penduduk:

“DILARANG MEMBAGI DENGAN NOL.”

Aturan itu dibuat langsung oleh Raja Integral XII, penguasa Planet Sigma-7 yang terkenal sangat tegas. Di setiap sudut kota terpampang papan peringatan:

“Pembagian dengan nol dapat merusak keseimbangan alam semesta.”

Awalnya banyak penduduk tidak mengerti.
“Kenapa sih nol saja tidak boleh?”
“Kasihan nol, dikucilkan terus.”
“Memangnya kalau dibagi nol kenapa?”

Tetapi tidak ada yang berani membantah raja.

Konon, bertahun-tahun lalu pernah ada ilmuwan nekat bernama Profesor Delta yang mencoba menghitung:

$$\frac{10}{0}$$

Baru saja hasilnya hampir muncul… langit Planet Sigma-7 langsung berubah gelap.

Angka-angka beterbangan di udara.
Grafik fungsi berputar tak terkendali.
Gedung-gedung berubah menjadi pecahan.
Dan yang paling menyeramkan…

Profesor Delta tersedot ke dalam “Dimensi Asimtot”.

Sejak saat itu, Raja Integral XII menetapkan hukum mutlak:
“Penyebut tidak boleh nol.”

---

Suatu hari, seorang siswa muda bernama Kai sedang belajar fungsi rasional di sekolah.

Guru menjelaskan:

$$f(x)=\frac{x+2}{x-3}$$

Tiba-tiba Kai bertanya,
“Kalau x = 3 bagaimana?”

Seketika kelas hening.

Guru perlahan menutup buku.
Kipas angin berhenti berputar.
Burung-burung di luar jendela mendadak diam.

“Jangan pernah memasukkan 3 ke penyebut itu…” bisik guru pelan.

Kai makin penasaran.

Malam harinya, ia diam-diam mencoba menghitung:

$$f(3)=\frac{3+2}{3-3}$$

​ $$f(3)=\frac{5}{0}$$

TIBA-TIBA—

Laptop Kai mengeluarkan cahaya terang.
Layar dipenuhi tulisan merah:

“ERROR: REALITAS TIDAK DITEMUKAN.”

Tanah bergetar.
Di langit muncul garis vertikal raksasa:

$$x=3$$

Garis itu membelah kota seperti gerbang dimensi.

Kai panik dan berlari ke istana.
Raja Integral XII lalu menjelaskan:

“Dalam fungsi rasional, ada nilai yang tidak boleh dimasukkan karena membuat penyebut bernilai nol. Nilai itu disebut nilai yang tidak termasuk domain.”

Raja kemudian menunjuk grafik besar di langit.

“Lihat itu. Grafik fungsi mendekati garis x = 3, tetapi tidak pernah menyentuhnya. Garis itu disebut asimtot tegak.”

Kai akhirnya mengerti.

Bukan karena angka 3 jahat.
Bukan karena nol menyeramkan.

Tetapi karena matematika punya aturan agar alam tetap stabil.

Sejak saat itu, Kai menjadi penjaga baru Gerbang Asimtot dan selalu mengingatkan semua orang:

“Boleh penasaran… tapi jangan membagi dengan nol.” 😭

Akhirnya Kai memahami bahwa fungsi rasional memiliki aturan khusus yang tidak boleh dilanggar. Dalam fungsi seperti:

$$f(x)=\frac{x+2}{x-3}$$

terdapat nilai tertentu yang membuat penyebut bernilai nol, yaitu saat $x=3$. Nilai inilah yang menyebabkan fungsi menjadi tidak terdefinisi dan memunculkan “Gerbang Asimtot” di Planet Sigma-7.

Dari kejadian itu, Kai mulai mempelajari lebih dalam tentang fungsi rasional:

• bagaimana menentukan domain fungsi,
• mengapa ada nilai yang dilarang,
• bagaimana mencari titik potong grafik,
• serta mengapa grafik fungsi rasional memiliki bentuk yang unik.

Nah, sekarang giliran kita menjelajahi dunia fungsi rasional dan memahami aturan-aturannya agar tidak ikut tersedot ke Dimensi Asimtot 😭

FUNGSI RASIONAL

Kelas XI

---

A. PENGERTIAN FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya berupa polinom.

Bentuk umum:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$

dengan:

• $P(x)$ = polinom pembilang
• $Q(x)$ = polinom penyebut
• $Q(x)\mathrm{\ne }0$

Contoh:

• $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$
• $g(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$

---

B. DOMAIN FUNGSI RASIONAL

Domain adalah himpunan nilai $x$ yang diperbolehkan.

Aturan penting:
Penyebut tidak boleh nol.

Contoh 1

$$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$$

Penyebut:

$$x-3\neq0$$ $$x\mathrm{\ne }3$$

Jadi domain:
semua bilangan real kecuali $x=3$

---

Contoh 2

$$f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$$

Penyebut:

$$x^2-9\neq0$$ $$(x-3)(x+3)\neq0$$ $$x\neq3 \quad \text{dan} \quad x\neq-3$$

---

C. TITIK POTONG SUMBU-X

Titik potong sumbu-x terjadi saat:

$$f(x)=0$$

Dalam fungsi pecahan:
Pembilang harus nol.

Contoh

$$f(x)=\frac{x-4}{x+1}$$

Titik potong:

$$x-4=0$$ $$x=4$$

Jadi titik potong sumbu-x:

$$(4,0)$$

---

D. TITIK POTONG SUMBU-Y

Titik potong sumbu-y diperoleh dengan:

$$x=0$$

Contoh

$$f(x)=\frac{x+2}{x-1}$$

Substitusi:

$$f(0)=\frac{0+2}{0-1}$$

$$f(0)=-2$$

Titik potong sumbu-y:

$$(0,-2)$$

---

E. ASIMTOT PADA FUNGSI RASIONAL

1. Asimtot Tegak

Terjadi saat penyebut = 0

Contoh:

$$f(x)=\frac{1}{x-2}$$

Asimtot tegak:

$$x=2$$

---

2. Asimtot Datar

Jika derajat pembilang = derajat penyebut

Contoh:

$$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$$

Asimtot datar:

$$y=\frac{2}{1}=2$$

---

F. GRAFIK FUNGSI RASIONAL

Ciri umum grafik:

• memiliki “lubang” atau batas
• tidak menyentuh asimtot
• terbagi menjadi beberapa bagian

Contoh sederhana:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

Grafiknya berbentuk lengkungan di kuadran I dan III.

---

G. LANGKAH ANALISIS FUNGSI RASIONAL

1. Tentukan domain
2. Tentukan titik potong sumbu-x
3. Tentukan titik potong sumbu-y
4. Tentukan asimtot
5. Gambarkan grafik

---

H. CONTOH SOAL

Contoh 1

Tentukan domain:

$$f(x)=\frac{x+1}{x-5}$$

Jawab:

$$x-5\neq0$$ 

$$x\neq5$$

---

Contoh 2

Tentukan titik potong sumbu-x:

$$f(x)=\frac{x-2}{x+4}$$

Jawab:

$$x-2=0$$ $$x=2$$

Titik potong:

$$(2,0)$$

---

I. PENERAPAN FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional digunakan dalam:

• kecepatan dan waktu
• debit air
• ekonomi
• pertumbuhan populasi
• konsumsi energi

Contoh:
Semakin banyak pengguna internet, kecepatan rata-rata jaringan bisa dimodelkan dengan fungsi rasional.

---

Setelah mempelajari cara menentukan domain, titik potong sumbu, serta mengenal asimtot pada fungsi rasional, kini Kai mulai berlatih agar bisa menjadi penjaga Gerbang Asimtot yang sesungguhnya.

Menurut Raja Integral XII, memahami teori saja belum cukup. Seorang penjaga harus mampu menganalisis fungsi dengan tepat agar tidak ada lagi yang sembarangan memasukkan angka terlarang ke dalam penyebut 😭

Karena itu, ayo uji kemampuanmu melalui latihan soal berikut. Perhatikan setiap fungsi dengan teliti, temukan nilai yang dilarang, dan selesaikan misinya sebelum Dimensi Asimtot kembali terbuka!

 J. LATIHAN 

1. Tentukan domain:

$$f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

2. Tentukan titik potong sumbu-x:

$$f(x)=\frac{x+5}{x-1}$$

3. Tentukan titik potong sumbu-y:

$$f(x)=\frac{x-2}{x+3}$$

4. Tentukan asimtot tegak:

$$f(x)=\frac{2}{x+4}$$

5. Analisis lengkap:

$$f(x)=\frac{x-1}{x+2}$$