DERET GEOMETRI

Kanguru Kiko Menyeberang Jalan Raya

Di tepi sebuah sabana, hidup seekor kanguru cerdik bernama Kiko. Suatu hari, Kiko menemukan sebuah jalan selebar 3,8 meter yang harus ia seberangi untuk mencapai padang rumput di seberang yang penuh dengan rumput hijau dan bunga lezat.

Namun, ada masalah. Kiko hanya mampu melompat sejauh 2 meter pada lompatan pertamanya, dan setiap lompatan berikutnya selalu berkurang menjadi setengah dari lompatan sebelumnya. Karena itu, Kiko tahu bahwa semakin lama ia melompat, semakin kecil jarak lompatan yang dapat ia capai hingga akhirnya terhenti untuk dicas kembali. Kiko pun berpikir keras, "Akankah aku berhasil menyeberang jalan yang lebarnya 3,8 meter dengan lompatan yang semakin pendek?"

Kiko mulai menghitung, dan ia mengamati pola lompatannya. Lompatan pertama adalah 2 meter, yang membuatnya semakin dekat dengan tujuan. Lompatan kedua, ia hanya bisa melompat setengah dari sebelumnya, yaitu 1 meter. Kemudian pada lompatan ketiga, ia melompat setengah lagi dari 1 meter, yaitu 0,5 meter.

Teman-teman, akankah Kiko sanggup menyeberangi jalan raya tersebut? Jika sanggup, berapa lompatan yang harus Kiko lakukan untuk menyeberanginya?

DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah hasil penjumlahan dari suku-suku pada suatu barisan geometri.

Contoh barisan geometri :
2, 6, 18, 54, ....

Contoh deret geometri :
2+6+18+54+....

Sudah terlihat kan perbedaan antara barisan geometri dan deret geometri.

Bentuk umum dari deret geometri adalah sebagai berikut: $�,��,�{�}^2,�{�}^3,\dots$ di mana:

• $�$ adalah suku pertama,
• $�$ adalah rasio.

Sifat-sifat:

1. Suku ke-n Deret Geometri: Suku ke-n (${�}_{�}$) dari deret geometri diberikan oleh rumus: ${�}_{�}=�\times {�}^{(�-1)}$

2. Jumlah Deret Geometri: Jumlah (${�}_{�}$) dari $�$ suku pertama deret geometri diberikan oleh rumus:

3. 
   

4. Untuk |r| > 1

5. ${�}_{�}=\frac{�\times ({�}^{�}-1)}{�-1}$

Untuk |r|<1:

• Sn​=1 − ra.(1− rn)​
  
  
• 
  

Rasio Umum dan Perilaku:

• Jika $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }>1$, suku-suku deret akan meningkat tanpa batas.
• Jika $0<\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }<1$, suku-suku akan mendekati nol seiring dengan bertambahnya $�$.

Contoh Soal:

1. Sebuah koloni lebah berkembang biak setiap hari dengan ukuran yang bertambah tiga kali lipat dari hari sebelumnya. Jika pada hari pertama terdapat 5 ekor lebah, berapa banyak lebah yang ada pada hari ke-6?

Penyelesaian: Jumlah lebah setiap hari membentuk deret geometri dengan suku pertama $a=5$ dan rasio $r=3$.

Jumlah lebah pada hari ke-6 adalah suku ke-6 dari deret:

$$U_6 = a \cdot r^{6-1} = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215$$

Jadi, pada hari ke-6, terdapat 1215 ekor lebah.

SOAL LATIHAN

3. Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama a=4 dan rasio r=3 . Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret ini!

4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 meter, dan setiap kali bola memantul, tingginya menjadi setengah dari tinggi sebelumnya. Berapa total jarak yang ditempuh bola setelah pantulan ke-4?

5. Sebuah perusahaan menargetkan untuk meningkatkan keuntungan bulanannya sebesar 50% dari keuntungan bulan sebelumnya. Jika keuntungan awalnya adalah $10,000, berapa keuntungan perusahaan tersebut pada bulan ke-4?