BARISAN ARITMETIKA 🐜

    Banyak hal bisa kita jumpai dalam keadaan tertata rapi, seperti produk yang dipajang di etalase toko atau buku yang berjajar rapi di perpustakaan. Ada juga yang dinamis seperti semut yang sedang berbaris, bebek yang mengantri di kasir avianmart atau kalian yang sedang mengikuti upacara bendera (yang terakhir ini paling susah dibikin rapi si). Tapi ternyata bukan hanya benda dan makhluk hidup saja yang bisa berbaris, angka pun bisa berbaris dengan berbagai variasi yang indah mempesona (dibaca: mempusingkan-red)

Dalam proses syuting film yang melelahkan, para semut tetap berbaris rapi.

🐜 Semut-Semut Berbaris Rapi

Pagi itu, di bawah pohon jambu yang rindang, sekumpulan semut (Monomorium minimum) sedang sibuk jalan berbaris. Dari jauh kelihatannya rapi banget, kayak parade kecil di dunia mini mereka.

“Eh, kok barisan semutnya makin panjang, ya?” kata Dila yang lagi duduk di taman sambil ngemil roti. Ia memperhatikan jalur semut yang makin ramai.

Seno yang duduk di sebelahnya ikut menghitung. “Barisan pertama cuma 3 semut, barisan kedua 5 semut, barisan ketiga 7 semut… Wah, tiap baris nambah 2 semut!”

Dila langsung nyengir, “Iya, berarti semut-semut itu barisan aritmetika dong!”

Seno bengong. “Hah? Barisan apa tuh?”

Dila mulai jelasin, “Barisan aritmetika itu barisan angka yang selisihnya selalu sama. Nah, di barisan semut ini, tiap kali pindah baris, jumlah semutnya selalu nambah 2. Jadi bedanya tetap, alias beda konstan.”

Seno ikut ngitung lagi.
Baris 1 → 3 semut
Baris 2 → 5 semut
Baris 3 → 7 semut
Baris 4 → 9 semut

“Berarti kalau kita mau tahu ada berapa semut di baris ke-10, tinggal pakai rumus aja ya, Dil?”

Dila mengangguk. “Betul banget!
Rumusnya tuh:
Un = a + (n - 1)b
Nah, a itu jumlah semut di baris pertama, b itu bedanya. Jadi tinggal masukin aja nilainya.”

Seno tersenyum puas sambil liatin semut-semut kecil yang terus jalan berbaris.
“Ternyata semut juga ngerti matematika, ya,” katanya.

Dila ketawa, “Iya dong, barisan aritmetika bukan cuma soal angka — tapi juga soal keteraturan, kayak semut-semut itu!”

 

Baca Juga : Mengenal Statistika

Pengertian Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap. Polanya dapat terbentuk berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang dinamakan beda. Biasa disimbolkan dengan b.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.
2, 5, 8, ...
(setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu 3)
Barisan aritmetika terdiri dari 2 jenis, yaitu barisan naik dan barisan turun. Berikut penjelasan masing-masing jenis.
1. 2, 5, 8, 11, 14,….. Jadi bedanya bernilai 3 (positif), maka baris ini adalah barisan naik.
2. 45, 43, 41, 39,…… Jadi nilai beda merupakan -2 (negatif), maka barisan disebut barisan turun.
Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap.
Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun.

rileks dulu gaes, nonton film perang:

Rumus Barisan Aritmetika
Berikut cara dan rumus yang berlaku pada barisan aritmetika.
U1, U2, U3, U4, U5, U6, …, Un – 1 , Un
Dari barisan tersebut diperoleh
U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b
…
Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut.
Un = a + (n – 1) b

Keterangan:
a = U₁ = suku pertama dalam barisan aritmetika.
b = beda barisan aritmetika = Uₙ – Uₙ₋₁ dengan n adalah banyaknya suku
n = jumlah suku
Uₙ = suku ke n

Lalu, bagaimana cara mencari nilai beda? Simak penjelasan berikut.
U2 = U1 + b maka b = U2 − U1
U3 = U2 + b maka b = U3 − U2
U4 = U3 + b maka b = U4 − U3
U5 = U4 + b maka b = U5 − U4
…
Un = Uₙ₋₁ + b maka b = Uₙ − Uₙ₋₁
Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.

b = Uₙ − Uₙ₋₁

Namun apabila unsur yang diketahui adalah suku yang tidak berurutan maka nilai beda dapat dicari melalui rumus berikut

b=(Un₂-Un₁)/(n₂-n₁)

b=beda
Un₁ = suku ke-n₁

Un₂ = suku ke-n₂

Baca Juga : Badai Menghadang di Gunung Kembang

Contoh Soal Barisan Arimatika
1. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.
    10, 13, 16, 19, 22, 25, ….
    Tentukan suku kedua belas barisan tersebut!

Jawab:
Suku pertama = a = 10

Menentukan nilai beda pada barisan tersebut.
b = U2 − U1
b = 13 – 10
b = 3

Suku kedua belas dapat disimbolkan menjadi U12. Berikut cara mencarinya.
U12 = a + (n – 1)b
U12 = 10 + (12 – 1)3
U12 = 10 + 33
U12 = 43

2. Diketahui suku ke-6 suatu barisan aritmetika adalah 29 dan suku ke-14 nya adalah 61. Tentukan nilai suku ke-20 barisan tersebut!

Jawab: 

Menentukan nilai beda
b=(Un₂-Un₁)/(n₂-n₁)
b=(61-29)/(14-6)
b=32/8
b=4

Menentukan nilai a
Un = a + (n – 1) b
U6 = a + (6 – 1) 4
29 = a + 5.4
29 = a + 20
29 – 20 = a
9 = a
a = 9

Menentukan nilai suku ke-20
U20 = a + (n – 1)b
U20 = 9 + (20 – 1)4
U20 = 9 + 19.4
U20 = 9 + 76
U20 = 85

Nah, barisan bilangan aritmetika atau disingkat barisan aritmetika mudah, bukan? Biasanya, penggunaan barisan ini banyak ditemukan di barisan bilangan untuk mengetahui nilai selanjutnya. Apakah kamu pernah menemukan contohnya dalam kehidupan sehari-hari?

Latihan soal:

3. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.
    7, 12, 17, 22, 27, ….
    Tentukan suku kesembilan belas barisan tersebut!

4. Diketahui suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke-9 nya adalah 32.
    Tentukan nilai suku ke-17 pada barisan tersebut!

5. Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.
    9, 15, 21, 27, 33, ….
    Tentukan nilai n jika Un = 111!

6. Seekor semut menemukan sebutir gula dan mulai memanggil teman-temannya.

     Pada menit pertama, ada 2 semut yang datang.
     Pada menit kedua, ada 5 semut.
     Pada menit ketiga, ada 8 semut.
     Dan begitu seterusnya, setiap menit jumlah semut yang datang bertambah secara teratur.

     Pertanyaannya:
     Berapa jumlah semut yang datang pada menit ke-7?
     Pada menit keberapa sebanyak 35 semut datang secara bersama-sama?

7. Pak Demplun seorang petani bahagia memanen cabainya setiap dua hari sekali, pada hari pertama pak Demplun panen 11kg cabai, pada setiap panen berikutnya hasil cabai pak Demplun selalu bertambah sebanyak 3kg dari hasil panen sebelumnya. Berapa hasil panen cabai pak Demplun pada hari ke 13?