DERET ARITMETIKA

Uang Celengan Naya 🐈

    Setiap hari Minggu, Naya punya kebiasaan menabung di celengan kecil berbentuk kucing. Minggu pertama, dia masukkan uang 5 ribu rupiah. Minggu berikutnya, dia tambah jadi 10 ribu, lalu 15 ribu di minggu ketiga. Setiap minggu, jumlah yang ditabung selalu bertambah 5 ribu rupiah.

    Suatu sore, Yana adiknya Naya bertanya, “Kak, kalau kayak gitu terus, total uang Kakak di minggu ke-10 berapa ya?”

    Naya mulai berpikir. “Hmm… berarti uang tabungan Kakak itu kayak deret aritmetika, ya!” Adiknya bingung, “Deret apa tuh?” “Deret aritmetika itu kayak barisan angka yang ditambahin terus dengan selisih yang sama, tapi di sini kita hitung jumlah seluruhnya. Jadi bukan cuma lihat berapa di minggu terakhir, tapi total semuanya dari awal sampai minggu ke-10.”

Naya lalu ambil kertas dan mulai coret-coret:

Uang minggu pertama (a) = 5.000

Beda tiap minggu (b) = 5.000

Jumlah minggu (n) = 10

Rumusnya:

Sn = ½n × (2a + (n - 1)b)

    Setelah dihitung, ternyata total uangnya 275 ribu rupiah!

    Adiknya berseru, “Wah, Sekarang Yana bisa beli tws baru nih!” Naya terkejut, “Lho kok jadi adek yang beli tws? Woy ini tabungannya kakak lah!” 💰😄

Sejarah Deret Aritmetika

    Tak banyak catatan sejarah yang menuliskan tentang deret aritmetika. Namun, beberapa sumber menyebutkan tentang Carl Friedrich Gauss, pakar matematika dan IPA asal Jerman yang pertama kali mencari tahu akan deret aritmetika.

Carl Friedrich Gauss

    Saat itu, Carl Friedrich Gauss masih duduk di bangku Sekolah Dasar (SD). Konon, dirinya menemukan kembali metode ini untuk menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 hingga 100, dengan mengalikan n/2 pasangan bilangan dijumlahkan dengan nilai masing-masing pasangan n+1.

Pengertian Deret Aritmetika

    Deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn. Sedangkan aritmetika seperti yang telah dijelaskan pada postingan sebelumnya adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika.

Jumlah balok setiap baris membentuk barisan aritmetika.
Jumlah balok dari semua baris adalah deret aritmatika.

Baca juga : Barisan Aritmetika

Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

    U1 + U2 + U3 + ... + Un dengan n bilangan asli

Rumus deret aritmetika:

    Sn = ½ n (a + Un)

    atau

    Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)

Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
Un = suku ke-n
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh soal :

1. Terdapat sebuah barisan bilangan 3, 7, 11, 15, .... Berapakah jumlah 25 suku pertama dari barisan tersebut?

Jawab:

Suku pertama = U1 = 3
Suku kedua    = U2 = 7
beda (selisih) = U2 - U1 = 7 - 3 = 4
n = 25

Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
      = ½.25 (2.3 + (25 – 1)4)
      = ½.25 (6 + (24)4)
      = ½.25 (6 + 96)
      = ½.25 (102)
      = ½.2550
      = 1275

2. Cemplon yang baik hati dan suka menabung hendak menabung untuk dijadikan uang saku studytour di sekolahnya. Pada bulan pertama Cemplon menabung sebesar Rp100.000,00, bulan kedua Rp110.000,00 dan begitu seterusnya.

a. Berapa uang yang akan ditabungkan Cemplon pada bulan kesepuluh?

b. Berapa jumlah tabungan cemplon setelah menabung selama 10 bulan?

Diketahui:
U1 = a = 100.000
U2 = 110.000
b = U2 - U1 = 110.000 - 100.000 = 10.000

Jawab:

a. Pertanyaan a berkaitan dengan barisan aritmetika yaitu tentang suku kesepuluh (U10)

U10 = a + (n - 1)b

       = 100.000 + (10 - 1)10.000

       = 100.000 + (9)10.000

       = 100.000 + 90.000

       = 190.000

b. Pertanyaan b berkaitan dengan deret aritmetika yaitu S10 = U1+U2+U3+...+U10

Sn = ½ n (a + Un)

      = ½.10 (100.000 + 190.000)

      = 5 (290.000)

      = 1.450.000

Jadi uang yang ditabungkan cemplon pada bulan kesepuluh adalah Rp190.000,00 dan selama 10 bulan Cemplon telah menabung sebanyak Rp.1.450.000,00.

Baca Juga : CAMPING DI BUKIT TRIANGGULASI

Latihan Soal

3. Sebuah deret aritmetika 5 + 8 + 11 + 14 + ... tentukan jumlah 14 suku pertama dari deret tersebut!

4. Suku ke-13 suatu barisan aritmetika adalah 38 dan suku ke-17 nya adalah 50. Berapakah jumlah 10 suku pertama pada barisan tersebut?

5. Pak Dempul menghitung cabai yang dipetiknya setiap hari. Ternyata banyaknya cabai yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 45 + 5n. Bantu Pak Dempul menghitung banyaknya cabai yang telah dipetik selama 10 hari pertama!

6. Di jalan setapak dekat kebun, ada barisan semut yang berjalan menuju sarang barunya karena sarang lama mereka terendam banjir. Pada baris pertama ada 41 semut, baris kedua ada 57 semut, baris ketiga ada 73 semut, dan seterusnya. Kalau di taman itu ada 10 barisan semut, pertanyaannya:

a. Berapa jumlah semut di baris terakhir?
b. Berapa total seluruh semut di 10 barisan tersebut?

7. Yogyakarta Royal Orchestra menyelenggarakan konser di Hutan Pinus Mangunan dengan bintang tamu Ndaru dari Nadrboy Genk. Panitia menyediakan 30 baris tempat duduk berbentuk hampir melingkar dengan baris pertama terdapat 10 tempat duduk dan baris berikutnya selalu bertambah 4 bangku dari baris sebelumnya. Jika semua tempat duduk dipenuhi penonton, berapa jumlah penonton yang mendapatkan tempat duduk dari panitia?