BALADA GEMPA PAK KENTONG 〰

    Tengah malam yang seharusnya tenang, Pak Kentong tiba-tiba terbangun dengan mata membelalak, selimut terlempar setengah meter, dan jantung berdegup seperti alarm yang lupa dimatikan. Tempat tidurnya terasa berguncang pelan, cukup untuk membuat beliau langsung duduk tegak sambil berbisik dramatis, “Waduh… gempa!” Sebagai warga yang panik tapi tetap modern, hal pertama yang beliau lakukan tentu bukan keluar rumah, melainkan meraih ponsel dan langsung mengetik di mesin pencari: cara menghitung skala gempa. Dalam hitungan menit, Pak Kentong sudah sibuk dengan angka-angka, amplitudo gelombang, dan perhitungan logaritma, seolah-olah baru saja diangkat menjadi ahli seismologi dadakan. “Kalau amplitudonya naik sepuluh kali lipat, berarti skalanya naik satu tingkat…” gumamnya puas, sambil merasa sedikit terlalu ilmiah untuk seseorang yang baru bangun tidur.

Bukan! Ini bukan kejadian yang sebenarnya.

    Belum selesai Pak Kentong menikmati kemenangan intelektualnya, terdengar suara lirih dari samping ranjang, “Tolong… Pak…” Spontan beliau menjawab dengan sigap, “Ayo Bu, cepat keluar! Ada gempa!” Namun dari bawah sisi tempat tidur, Bu Bedug menimpali dengan nada antara kesal dan bingung, “Gempa apaan, Pak? Wong aku ini jatuh dari tempat tidur, kok malah dibilang gempa.” Seketika Pak Kentong terdiam, menatap ponselnya, lalu menatap istrinya, lalu kembali menatap angka-angka logaritma yang tadi dihitung dengan penuh semangat. Rupanya yang beliau kira aktivitas tektonik kerak bumi ternyata hanyalah aktivitas gravitasi Bu Bedug yang terlalu aktif di kasur. Meski begitu, dari kejadian absurd ini kita jadi punya pertanyaan ilmiah yang menarik: sebenarnya bagaimana para ahli menentukan besar gempa dari data yang mereka peroleh? Nah, di sinilah fungsi logaritma masuk, bukan untuk menghitung siapa yang jatuh dari tempat tidur, tetapi untuk mengukur kekuatan gempa yang sesungguhnya.

---***^***---

Setelah drama tengah malam yang ternyata lebih berkaitan dengan posisi tidur daripada pergerakan lempeng bumi, muncul satu hal yang justru menarik untuk dibahas secara ilmiah: bagaimana sebenarnya kekuatan gempa diukur? Ternyata para ahli tidak menghitungnya dengan cara biasa seperti penjumlahan atau perkalian sederhana. Skala gempa menggunakan konsep logaritma, karena energi dan amplitudo gelombangnya bisa meningkat sangat besar dalam waktu singkat. Misalnya, kenaikan satu tingkat skala bukan berarti getarannya bertambah sedikit, tetapi bisa menjadi berkali-kali lipat. Nah, supaya kita tidak kalah sok ilmiah dari Pak Kentong yang mendadak jadi ahli gempa dadakan, sekarang kita masuk ke materi fungsi logaritma, yaitu cara matematika membaca “pangkat yang bersembunyi” di balik angka-angka besar itu.

FUNGSI LOGARITMA

---

1. Pengertian Dasar

Fungsi logaritma merupakan invers (kebalikan) dari fungsi eksponen.

Jika

$$a^x = y$$

dengan syarat

$$a > 0,\quad a \ne 1,\quad y > 0$$

maka bentuk logaritmanya adalah

$$\log_a y = x$$

dibaca:

"logaritma basis $a$ dari $y$ sama dengan $\mathrm{f(x)"<strong\; data-end="549"\; data-start="493"\; style="display:\; inline;"><br></strong>}$

$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{Lagu\; ini\; cocok\; banget\; buat\; kamu\; pecinta\; kopi\; senja.\; Subscribe!}$

$$

---

2. Bentuk Fungsi Logaritma

Bentuk umum fungsi logaritma:

$$f(x)=\log_a x$$

dengan syarat:

$$a>0,\quad a\ne1,\quad x>0$$

---

3. Domain dan Range

Untuk fungsi

$$f(x)=\log_a x$$

Domain

$$x>0$$

karena logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif.

---

Range

$$y\in\mathbb{R}$$

artinya hasil fungsi logaritma dapat berupa semua bilangan real.

---

4. Grafik Fungsi Logaritma

Jika $a>1$

Grafik naik.

Contoh:

$$y=\log_2 x$$

---

Jika $0<a<1$

Grafik turun.

Contoh:

$$y=\log_{\frac12}x$$

---

Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi logaritma

Untuk

$$y=\log_a(mx+n)$$

langsung cari:

Domain

$$mx+n>0$$

Asimtot

$$mx+n=0$$

Titik potong sumbu X

$$mx+n=1$$

Titik saat $y=1$

$$mx+n=a$$

Titik saat $y=2$

$$mx+n=a^2$$

---

 CONTOH : 

$$y=\log_2(2x-4)$$

Langkah 1: Domain

$$2x-4>0$$
$$x>2$$

Asimtot tegak:

$$x=2$$

---

Langkah 2: Titik Potong Sumbu X

Set bagian dalam = 1

$$2x-4=1$$pindahkan (-4) menjadi (+4)
$$2x=5$$

$$2x=5$$pindahkan (2) menjadi pembagian

$$x=\frac52$$

Titik:

$$\left(\frac52,0\right)$$

---

Langkah 3: Titik Tambahan

Ambil: y = 1

$$1={\mathrm{²log}}_{\mathrm{<br>}}2=\mathrm{<math\; display="block"\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mrow><mi>²log\; (2x\; -\; 4)</mi></mrow></msub></mrow></semantics></math>}$$

$$2x-4=2$$
$$2x=6$$
$$x=3$$
$$\mathrm{<br>}$$

Titik:

$$(3,1)$$

---

Ambil: y = 2

$$2={\mathrm{²log}}_{\mathrm{<br>}}4=\mathrm{<math\; display="block"\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mrow><mi>²log\; (2x\; -\; 4)</mi></mrow></msub></mrow></semantics></math>}$$

$$2x-4=4$$
$$2x=8$$
$$x=4$$
$$\mathrm{<br>}$$

Titik:

$$(4,2)$$

---

Langkah 4: Grafik

---

 Latihan Fungsi Logaritma 

Tentukan nilai dari fungsi berikut untuk nilai $x$ yang diberikan.

1. Diketahui $f(x)=\log_2 x$.
   Tentukan nilai $f(8).$
2. Diketahui $g(x)=\log_3 (x+1)$.
   Tentukan nilai $g(8)$.
3. Diketahui $h(x)=\log_5 (25x)$.
   Tentukan nilai $h(1)$.
4. Diketahui $p(x)=\log_4 (2x)$.
   Tentukan nilai $p(8)$.
5. Diketahui $q(x)=\log (100x)$.
   Tentukan nilai $q(1)$.
   (log tanpa basis berarti basis 10)

---

B. Menentukan Domain Fungsi

Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut.

6. $f(x)=\log_2 (x-3)$
   
7. $g(x)=\log_5 (2x+1)$
   
8. $h(x)=\log (x^2-4)$
9. $p(x)=\log_3 (x+5)$
   
10. $q(x)=\log_7 (3-2x)$
    

---

C. Menentukan Titik Potong Sumbu-X

Tentukan titik potong fungsi dengan sumbu-x.

11. $f(x)=\log_2 x-3$
    
12. $g(x)=\log_3 (x+1)-2$
    
13. $h(x)=\log_5 (2x)-1$)
14. $p(x)=\log (x-9)$
    
15. $q(x)=2\log_2 x-4$)

---

D. Menggambar grafik fungsi Logaritma

16. Gambarlah sketsa grafik-grafik berikut!

a. f(x) = ${\mathrm{³log\; (4x\; +\; 3)}}_{}$

b. g(x) = ²log (7x  – 5)