Senin, 27 Mei 2024

ATURAN SINUS, COSINUS, DAN LUAS SEGITIGA

 

ATURAN SINUS

Pengantar

Aturan sinus adalah salah satu hukum dasar dalam trigonometri yang menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Aturan ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan segitiga, baik dalam matematika maupun dalam aplikasi di dunia nyata.


Bentuk Umum Aturan Sinus

Dalam segitiga ABC, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut A, B, dan C masing-masing dinamakan a, b, dan c, aturan sinus menyatakan:

𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶asinA=bsinB=csinC

Di sini:

  • 𝑎a, 𝑏b, dan 𝑐c adalah panjang sisi-sisi segitiga.
  • 𝐴A, 𝐵B, dan 𝐶C adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

Penggunaan Aturan Sinus

Aturan sinus dapat digunakan dalam berbagai situasi, termasuk:

  1. Mencari panjang sisi segitiga: Jika kita tahu dua sudut dan satu sisi segitiga, kita bisa menggunakan aturan sinus untuk menemukan sisi lainnya.
  2. Mencari besar sudut segitiga: Jika kita tahu dua sisi dan satu sudut, kita bisa menggunakan aturan sinus untuk menemukan sudut lainnya.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Mencari Panjang Sisi

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan:

  • Sudut 𝐴=30A=30
  • Sudut 𝐵=45B=45
  • Panjang sisi 𝑎=10a=10 cm

Kita ingin mencari panjang sisi 𝑏b.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan sinus untuk mencari 𝑏b:
𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵asinA=bsinB
10sin30=𝑏sin4510sin30=bsin45
100.5=𝑏22100.5=b22
20=𝑏2220=b22
40=𝑏240=b2
𝑏=402=20228.28cmb=402=20228.28cm

Contoh 2: Mencari Besar Sudut

Diketahui sebuah segitiga DEF dengan:

  • Sisi 𝑑=7d=7 cm
  • Sisi 𝑒=9e=9 cm
  • Sudut 𝐹=60F=60

Kita ingin mencari nilai sin 𝐷D.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan sinus untuk mencari sin𝐷sinD:
𝑑sin𝐷=𝑒sin𝐸dsinD=esinE


𝑑sin𝐷=𝑒sin60dsinD=esin60
7sin𝐷=9327sinD=932
7sin𝐷=9237sinD=923
7sin𝐷=1837sinD=183
7sin𝐷=637sinD=63
sin𝐷=763=7318sinD=763=7318
𝐷=arcsin(7318)D=arcsin(7318)

ATURAN COSINUS

Pengantar

Aturan kosinus adalah salah satu hukum dasar dalam trigonometri yang menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Aturan ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan segitiga, khususnya ketika kita tidak memiliki sudut siku-siku.

Bentuk Umum Aturan Kosinus

Dalam segitiga ABC dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut A, B, dan C masing-masing dinamakan a, b, dan c, aturan kosinus menyatakan:

𝑐2=𝑎2+𝑏22𝑎𝑏cos𝐶c2=a2+b22abcosC
𝑏2=𝑎2+𝑐22𝑎𝑐cos𝐵b2=a2+c22accosB
𝑎2=𝑏2+𝑐22𝑏𝑐cos𝐴a2=b2+c22bccosA

Di sini:

  • 𝑎a, 𝑏b, dan 𝑐c adalah panjang sisi-sisi segitiga.
  • 𝐴A, 𝐵B, dan 𝐶C adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

Penggunaan Aturan Kosinus

Aturan kosinus dapat digunakan dalam berbagai situasi, termasuk:

  1. Mencari panjang sisi segitiga: Jika kita tahu dua sisi dan sudut di antara keduanya, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk menemukan sisi lainnya.
  2. Mencari besar sudut segitiga: Jika kita tahu ketiga sisi, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk menemukan salah satu sudut.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Mencari Panjang Sisi

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan:

  • Sisi 𝑎=7a=7 cm
  • Sisi 𝑏=24b=24 cm
  • Sudut 𝐶=60C=60

Kita ingin mencari panjang sisi 𝑐c.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan kosinus:
𝑐2=𝑎2+𝑏22𝑎𝑏cos𝐶c2=a2+b22abcosC
𝑐2=72+2422724cos60c2=72+2422724cos60
𝑐2=49+57627240.5c2=49+57627240.5
𝑐2=49+576168c2=49+576168
𝑐2=457c2=457
𝑐=45721.4cmc=45721.4cm

Contoh 2: Mencari Besar Sudut

Diketahui sebuah segitiga DEF dengan:

  • Sisi 𝑑=8d=8 cm
  • Sisi 𝑒=15e=15 cm
  • Sisi 𝑓=17f=17 cm

Kita ingin mencari besar sudut 𝐷DF.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan kosinus:
𝑓2=𝑑2+𝑒22𝑑𝑒cos𝐹f2=d2+e22decosF
172=82+1522815cos𝐹172=82+1522815cosF
289=64+225240cos𝐹289=64+225240cosF
289=289240cos𝐹289=289240cosF
0=240cos𝐹0=240cosF
cos𝐹=0

Sudut yang kosinusnya 0 adalah 90°. Jadi, sudut 𝐹=90.



LUAS SEGITIGA

Pengantar

Dalam trigonometri, terdapat beberapa cara untuk menghitung luas segitiga. Metode ini berguna terutama ketika kita memiliki informasi tentang panjang sisi dan sudut segitiga. Berikut adalah beberapa cara yang umum digunakan:

  1. Rumus Dasar dengan Alas dan Tinggi
  2. Rumus Heron
  3. Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

1. Rumus Dasar dengan Alas dan Tinggi

Rumus paling dasar untuk menghitung luas segitiga adalah menggunakan alas base dan tinggi height:

𝐿𝑢𝑎𝑠=12×alas×tinggi

2. Rumus Heron

Rumus Heron digunakan ketika kita mengetahui panjang ketiga sisi segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Hitung setengah keliling segitiga (𝑠):
𝑠=𝑎+𝑏+𝑐2
  1. Gunakan rumus Heron untuk menghitung luas:
𝐿𝑢𝑎𝑠=𝑠(𝑠𝑎)(𝑠𝑏)(𝑠𝑐)

3. Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

Ketika kita mengetahui dua sisi dan sudut di antara keduanya, kita dapat menggunakan rumus trigonometri:

𝐿𝑢𝑎𝑠=12×𝑎×𝑏×sin𝐶

Di sini:

  • 𝑎 dan 𝑏 adalah dua sisi segitiga.
  • 𝐶 adalah sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Menggunakan Rumus Dasar

Diketahui segitiga ABC dengan alas 𝑎=8 cm dan tinggi 𝑡=5 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut.

𝐿𝑢𝑎𝑠=12×8×5=20cm2

Contoh 2: Menggunakan Rumus Heron

Diketahui segitiga DEF dengan sisi-sisi 𝑑=5 cm, 𝑒=6 cm, dan 𝑓=7 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut menggunakan rumus Heron.

  1. Hitung setengah keliling (𝑠):
𝑠=5+6+72=9
  1. Hitung luas menggunakan rumus Heron:
𝐿𝑢𝑎𝑠=9(95)(96)(97)=9×4×3×2=21614.7cm2

Contoh 3: Menggunakan Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

Diketahui segitiga PQR dengan sisi 𝑝=10 cm, sisi 𝑞=12 cm, dan sudut 𝑅=30. Hitunglah luas segitiga tersebut.

𝐿𝑢𝑎𝑠=12×𝑝×𝑞×sin𝑅
𝐿𝑢𝑎𝑠=12×10×12×sin30
𝐿𝑢𝑎𝑠=12×10×12×0.5=30cm2


Tidak ada komentar:

Posting Komentar