DERET GEOMETRI TAK HINGGA

 KELINCI RICO DAN WORTEL YANG TAK PERNAH HABIS

Di sebuah hutan nan hijau dan damai, hiduplah seekor kelinci bernama Rico 〈Lepus nigricollis〉. Kelinci Rico terkenal pintar dan suka sekali belajar hal baru. Suatu pagi, Rico menemukan sekumpulan wortel yang tertata rapi di dekat sebuah pohon besar. Rico sangat senang karena wortel adalah makanan kesukaannya!

Di dekat wortel itu ada seekor burung hantu bijaksana bernama Tyto 〈Tyto alba〉 yang sedang mengawasi. Rico bertanya kepada Tyto, "Wah, ada banyak sekali wortel di sini! Apakah aku boleh memakannya?"

Sebelum Tyto makan Rico Rico makan wortel,
Tyto mengajak Rico untuk berfoto terlebih dahulu. Cekrek!

Burung Hantu Tyto tertawa lembut dan menjawab, "Tentu saja, Rico, kamu bahkan boleh memakan semuanya. Tapi, ada tantangan untukmu. Wortel-wortel ini harus dimakan dengan cara yang istimewa. Kamu boleh makan setengah dari jumlah wortel yang ada, lalu setengah dari sisa yang tersisa, lalu setengah lagi, dan begitu seterusnya."

Rico merasa tertantang dan mulai berpikir, “Jika aku makan wortel dengan cara ini, apakah wortel-wortel ini bisa aku habiskan?”

Tyto tersenyum dan berkata, "Itulah misterinya, Rico. Coba saja, dan kamu akan melihat keajaiban."

Dengan penuh semangat, Rico mulai mengikuti tantangan tersebut. Tantangan dimulai. Pada pagi hari pertama, ia makan setengah dari jumlah wortel yang ada. Jika awalnya ada 10 wortel, ia makan 5 wortel terlebih dahulu. Masih ada 5 wortel tersisa. Lalu, pada siang harinya, ia makan setengah dari sisanya, yaitu 2,5 wortel. Setelah itu, masih ada 2,5 wortel yang tersisa.

Rico melanjutkan makan wortel dengan aturan yang diberikan Tyto. Setiap ia makan, ia hanya makan setengah dari sisa wortel yang ada. Pada kesempatan ketiga, ia makan 1,25 wortel, lalu 0,625 wortel, dan seterusnya. Semakin lama, wortel yang dimakan Rico semakin kecil.

Setelah beberapa hari, Rico merasa heran, kenapa wortel-wortel itu tidak pernah benar-benar habis. Burung Hantu Tyto pun mendekat dan berkata, "Kau telah menemukan rahasia dari deret geometri tak hingga, Rico. Dengan memakan wortel setengah dari sisanya setiap kali, kau akan selalu mendekati jumlah wortel awal, tetapi kau tidak akan pernah benar-benar menghabiskannya sepenuhnya. Ini adalah deret geometri yang semakin kecil tanpa akhir."

Rico tersenyum dan kagum. “Jadi, jika aku terus makan dengan cara ini, persediaan wortelku tidak akan pernah habis?”

"Benar sekali," kata Tyto sambil tersenyum. "Inilah keajaiban deret geometri tak hingga. Kau bisa terus makan dan menikmati wortel-wortel ini selamanya!"

"Selamanya?" tanya Rico kegirangan. "Iya, selama-lama-lamanya," Tyto menanggapi dengan penuh semangat. "Selama-lama-lama-lama-lamanya?" tanya Rico lagi semakin kegirangan. Tyto hanya diam saja dan kemudian memukul telinga Rico dengan sebatang lidi secara perlahan. "Baiklah, selama-lama-lamanya" ucap Rico.

Akhirnya, Rico pulang dengan rasa puas dan pengetahuan baru tentang wortel yang tak pernah habis, sambil terus kagum dengan pelajaran unik yang didapat dari sahabatnya sang burung hantu Tyto.

Pertanyaan Pemantik

Tanyakan kepada teman di sebelahmu, hal baru apa yang ia pelajari dari kisah diatas?

Pesan Moral

Kadang, kebijaksanaan dan pengetahuan menghadirkan hal yang baru untuk dipelajari dan dinikmati, dan semakin kita tahu, semakin banyak hal yang akan kita temukan.

Kisah tersebut mengandung unsur deret geometri tak hingga yang dapat kita pelajari bersama melalui materi berikut ini:

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

---

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret yang memiliki jumlah suku yang tidak terbatas, di mana suku-suku tersebut membentuk suatu pola perkalian dengan rasio konstan. Deret ini disebut tak hingga karena suku-sukunya berlanjut tanpa batas.

Sebagai contoh:

$$a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \dots$$

Pada deret ini:

• $a$ adalah suku pertama,
• $r$ adalah rasio 〈perbandingan antara suku berurutan, yaitu $\frac{U_{n+1}}{U_n}$〉.

---

Syarat Deret Geometri Tak Hingga

Agar deret geometri tak hingga memiliki jumlah yang terbatas 〈konvergen〉, nilai rasio $r$ harus memenuhi syarat berikut:

 ∣r∣ < 1 

Jika $|r| \geq 1$, maka deret tersebut divergen, yang berarti jumlahnya tak terbatas.

---

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Untuk deret geometri tak hingga yang konvergen 〈dengan $\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$〉, jumlah tak hingga dari deret geometri ini dapat dihitung menggunakan rumuss:

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

dengan:

• $S$∞ adalah jumlah dari deret geometri tak hingga,
• $a$ adalah suku pertama,
• $r$ adalah rasio.

---

Contoh Soal dan Pembahasan

1.
Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = 8$ dan rasio $r = \frac{1}{3}$. Tentukan jumlah tak hingga dari deret ini.

Pembahasan: Karena $|r| < 1$, kita bisa menghitung jumlah tak hingga deret tersebut.

$$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 \times \frac{3}{2} = 12$$

Jadi, jumlah tak hingga dari deret ini adalah 12.

---

2.
Jika suatu deret geometri tak hingga memiliki suku pertama $a = 7$ dan jumlah deret $S = 14$, tentukan rasio $r$ dari deret tersebut.

Pembahasan: Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga:

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

$$14 = \frac{7}{1 - r}$$

$$14(1 - r) = 7$$
$$14 - 14r = 7$$
$$14r = 7$$
$$r = \frac{1}{2}$$

Jadi, rasio $r$ adalah $\frac{1}{2}$.

SOAL LATIHAN

Soal 3

Diketahui deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=6$ dan rasio $r = \frac{1}{3}$. Tentukan jumlah tak hingga dari deret ini.

---

Soal 4

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Setiap kali bola memantul, tingginya menjadi setengah dari tinggi sebelumnya. Berapakah total jarak yang ditempuh bola jika dianggap memantul terus-menerus hingga berhenti?

---

Soal 5

Deret geometri tak hingga memiliki jumlah S∞ = 20$\mathrm{ dan\; suku\; pertama }$$a=4$. Tentukan rasio $r$ dari deret ini.

---

Soal 6

Suatu deret geometri 15, 10, $r = \frac{2}{3}$.. Hitunglah jumlah tak hingga deret tersebut!

---

Soal 7

Sejumlah bakteri berkurang sebanyak 30% setiap jam karena pengaruh antibiotik. Jika pada awalnya terdapat 1000 bakteri, tentukan jumlah bakteri yang akan hilang setelah waktu yang sangat lama.

-;{@ Semoga bermanfaat dan sukses selalu @};-