🚍 BUS KOTA
Sebuah bus kota melaju pelan memasuki bundaran dekat alun-alun Purwokerto.
Di tengah bundaran berdiri patung kota dengan air mancur yang menyembur tenang, seolah sudah terbiasa melihat kendaraan berputar rapi mengelilinginya.
“Putarannya satu lagi ya,” kata sopir sambil memutar setir.
Bus itu tidak pindah kota, tidak ganti rute, dan tidak mendadak jadi angkot. Ia hanya berputar mengelilingi pusat bundaran dengan sudut tertentu. Arah berubah, posisi berubah, tapi bentuk bus tetap sama, ya iyalah masa berubah jadi warung kopi.
Kalau bus itu bisa bicara, mungkin ia akan berkata, “Aku tidak ke mana-mana, aku cuma rotasi.”
Di dalam bus, seorang anak kecil duduk sambil memperhatikan peta digital di layar kursi depan. Ia memperbesar tampilan alun-alun, lalu memperkecilnya lagi.
“Lihat, Bu,” katanya antusias, “patungnya jadi gede… terus kecil lagi.” Padahal patung di luar tetap segitu-gitu saja. Yang berubah hanyalah skala tampilan peta.
Peta itu tidak berputar, tidak berpindah lokasi, hanya diperbesar dan diperkecil, tetap dengan bentuk yang sama.
“Itu namanya dilatasi,” kata ibunya sambil tersenyum, “bukan sulap.”
Bus pun akhirnya keluar dari bundaran, peta kembali ke ukuran normal, dan anak kecil itu tanpa sadar baru saja melihat dua konsep matematika bekerja rapi di dunia nyata: bus yang berputar, dan peta yang di-zoom.
Tanpa rumus, tanpa panik, hanya matematika yang sedang menyamar jadi perjalanan kota.
Cerita bus yang berputar di bundaran dan peta yang bisa diperbesar tadi bukan sekadar kisah perjalanan kota, melainkan contoh nyata bagaimana rotasi dan dilatasi bekerja di sekitar kita. Sekarang, saatnya kita berhenti jadi penumpang dan mulai jadi pengendali arah: membahas rotasi dan dilatasi secara matematis, lengkap dengan pusat, sudut, dan faktor skala, agar setiap putaran dan pembesaran bisa dijelaskan bukan dengan perkiraan, tapi dengan rumus yang rapi.
🚏TRANSFORMASI GEOMETRI
FOKUS 2: ROTASI DAN DILATASI
(Kali ini muter dan membesar, bukan geser atau ngaca)A. ROTASI (PERPUTARAN)🍩
-
PENGERTIAN ROTASI
Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu titik atau bangun terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu.
Yang tetap:
-
bentuk
-
ukuran
Yang berubah:
-
posisi
-
arah hadap
Kalau translasi itu pindah tempat,
refleksi itu ngaca,
maka rotasi itu muter sambil mikir.
-
PUSAT DAN ARAH ROTASI
Rotasi selalu punya:
-
pusat rotasi (biasanya titik O(0, 0))
-
besar sudut
-
arah putaran
Arah rotasi:
-
berlawanan arah jarum jam → positif
-
searah jarum jam → negatif
Ini bukan aturan galak, cuma kesepakatan dunia matematika.
-
ROTASI TERHADAP TITIK PUSAT (0, 0)
a. Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam
Rumus:
(x, y) → (−y, x)
Contoh:
A(2, 3) → A’(−3, 2)
b. Rotasi 180°
Rumus:
(x, y) → (−x, −y)
Contoh:
B(−4, 1) → B’(4, −1)
c. Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam
Rumus:
(x, y) → (y, −x)
Contoh:
C(1, −5) → C’(−5, −1)
Catatan penting:
Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam
= rotasi 90° searah jarum jam
(jangan sampai muter dua kali salah arah).
-
ROTASI BANGUN DATAR
Jika sebuah bangun diputar,
maka setiap titik penyusunnya ikut diputar dengan aturan yang sama.
Tidak ada titik yang boleh malas.
Kalau satu titik muter, semua muter.
B. DILATASI (PEMBESARAN DAN PENGECILAN) ⛶
-
PENGERTIAN DILATASI
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun,
tanpa mengubah bentuk dan arah.
Yang berubah:
-
ukuran
-
jarak dari pusat
Yang tetap:
-
bentuk
-
sudut-sudut
Kalau rotasi itu muter,
dilatasi itu zoom in dan zoom out versi matematika.
-
FAKTOR SKALA DILATASI
Dilatasi menggunakan faktor skala k.
-
k > 1 → bangun membesar
-
0 < k < 1 → bangun mengecil
-
k = 1 → bangun tidak berubah (ngapain, tapi sah)
-
k < 0 → bangun membesar/mengecil + berbalik arah
-
DILATASI TERHADAP TITIK PUSAT (0, 0)
Rumus:
(x, y) → (k x, k y)
Contoh 1 (membesar):
A(2, −1) didilatasi dengan k = 3
A' = 3A
A' = 3(2, −1)
A' = (6, −3)
Contoh 2 (mengecil):
B(4, 2) didilatasi dengan k = 1/2
B’(2, 1)
-
MAKNA GEOMETRIS DILATASI
Saat didilatasi:
-
titik makin jauh dari pusat jika k > 1
-
titik makin dekat ke pusat jika 0 < k < 1
Bayangkan titik itu diikat karet ke pusat.
Ditarik → membesar.
Dilepas → mengecil.
Ilmiah? Iya.
Ilustratif? Juga iya.
-
DILATASI BANGUN DATAR
Sama seperti transformasi lain:
-
setiap titik bangun dikalikan faktor skala yang sama
Dilatasi itu adil, tidak tebang pilih, pilih kasih maupun berat sebelah.
PENUTUP KECIL (BIAR NYANTOL)
Rotasi mengajarkan kita bahwa:
-
bentuk bisa tetap sama meski arah berubah
Dilatasi mengingatkan bahwa:
-
perubahan ukuran tidak selalu berarti perubahan bentuk
Dan dalam geometri,
selama aturannya jelas dan pusatnya tepat,
muter dan membesar pun bisa dihitung dengan tenang 😄
Oke, sebelum segitiga-segitiga ini kabur dari papan koordinat, sekarang giliran kamu yang pegang kendali. Semua rumus rotasi dan dilatasi yang barusan dibahas sudah siap dipakai, bukan untuk dipajang seperti poster motivasi, tapi untuk benar-benar menggerakkan bangun ke sana-kemari. Anggap saja kamu sutradara transformasi: mau diputar, diperbesar, atau dibalik arahnya, titik dan segitiga-segitiga di soal berikut tinggal nurut—asal perintahmu sesuai rumus dan tidak nongkrong di tengah jalan 😄
A. LEVEL 1 – PEMANASAN
(Biar tangan dan otak akur dulu)
-
Titik A(3, 2) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat bayangan A. -
Titik B(−4, 1) dirotasi 180° terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat bayangan B. -
Titik C(2, −5) dirotasi 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat bayangan C. -
Titik D(1, 3) didilatasi dengan faktor skala k = 2 terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat bayangan D.
B. LEVEL 2 – MULAI MIKIR
(Sudah mulai pakai logika, bukan refleks)
-
Titik P(−2, 4) dirotasi 90° searah jarum jam terhadap titik pusat (0, 0).
a. Tentukan koordinat P’.
b. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam. -
Titik Q(6, −2) didilatasi dengan faktor skala k = 1/2 terhadap titik pusat (0, 0).
a. Tentukan koordinat Q’.
b. Apakah titik Q’ lebih dekat atau lebih jauh dari titik pusat? Jelaskan singkat. -
Titik R(3, −1) dirotasi 180° terhadap titik pusat (0, 0), kemudian hasilnya didilatasi dengan faktor skala k = 2.
Tentukan koordinat akhir titik R. -
Titik S(−4, 2) didilatasi dengan faktor skala k = −1 terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat bayangan S dan jelaskan makna tanda negatif pada faktor skala.
C. LEVEL 3 – AGAK MENANTANG
(Kalau ini tembus, berarti konsepnya sudah aman)
-
Titik A(x, y) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0, 0) dan menghasilkan bayangan A’(−5, 2).
Tentukan koordinat titik A. -
Titik B(2, −3) didilatasi dengan faktor skala k sehingga bayangannya berada di titik B’(6, −9).
Tentukan nilai k. -
Titik M(1, 4) didilatasi dengan faktor skala k = 3, kemudian dirotasi 180° terhadap titik pusat (0, 0).
Tentukan koordinat akhir titik M. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, 1), B(5, 1), C(3, 3) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0, 0). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC! Gambarkan posisi segitiga sebelum dan sesudah rotasi pada bidang koordinat!
Bernafas dulu yuk sebelum lanjut ke nomor 14!
Diketahui segitiga DEF dengan koordinat:
D(–1, −1)
E(4, −1)
F(1, 3)
Segitiga DEF didilatasi dengan faktor skala k = 2 terhadap titik pusat (0, 0).
a. Tentukan koordinat bayangan D’, E’, dan F’.
b. Gambarkan segitiga DEF dan D’E’F’ pada bidang kartesius.
Apa yang berubah dan apa yang tetap?
-
Diketahui segitiga KLM dengan koordinat:
K(−3, 1)
L(1, 1)
M(0, –4)
Segitiga KLM dirotasi 180° terhadap titik pusat (0, 0).
a. Tentukan koordinat bayangan K’, L’, dan M’.
b. Jelaskan posisi segitiga hasil rotasi terhadap segitiga semula.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar