ATURAN SINUS, COSINUS, DAN LUAS SEGITIGA

 

ATURAN SINUS

Pengantar

Aturan sinus adalah salah satu hukum dasar dalam trigonometri yang menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Aturan ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan segitiga, baik dalam matematika maupun dalam aplikasi di dunia nyata.

Bentuk Umum Aturan Sinus

Dalam segitiga ABC, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut A, B, dan C masing-masing dinamakan a, b, dan c, aturan sinus menyatakan:

$$\frac{𝑎}{\sin 𝐴}=\frac{𝑏}{\sin 𝐵}=\frac{𝑐}{\sin 𝐶}$$

Di sini:

• $𝑎$, $𝑏$, dan $𝑐$ adalah panjang sisi-sisi segitiga.
• $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

Penggunaan Aturan Sinus

Aturan sinus dapat digunakan dalam berbagai situasi, termasuk:

1. Mencari panjang sisi segitiga: Jika kita tahu dua sudut dan satu sisi segitiga, kita bisa menggunakan aturan sinus untuk menemukan sisi lainnya.
2. Mencari besar sudut segitiga: Jika kita tahu dua sisi dan satu sudut, kita bisa menggunakan aturan sinus untuk menemukan sudut lainnya.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Mencari Panjang Sisi

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan:

• Sudut $𝐴=30^{\circ }$
• Sudut $𝐵=45^{\circ }$
• Panjang sisi $𝑎=10$ cm

Kita ingin mencari panjang sisi $𝑏$.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan sinus untuk mencari $𝑏$:

$$\frac{𝑎}{\sin 𝐴}=\frac{𝑏}{\sin 𝐵}$$

$$\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{𝑏}{\sin 45^{\circ }}$$

$$\frac{10}{0.5}=\frac{𝑏}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$20=\frac{𝑏\cdot \sqrt{2}}{2}$$

$$40=𝑏\cdot \sqrt{2}$$

$$𝑏=\frac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\approx 28.28\text{cm}$$

Contoh 2: Mencari Besar Sudut

Diketahui sebuah segitiga DEF dengan:

• Sisi $𝑑=7$ cm
• Sisi $𝑒=9$ cm
• Sudut $𝐹=60^{\circ }$

Kita ingin mencari nilai sin $𝐷$.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan sinus untuk mencari $\sin 𝐷$:

$$\frac{𝑑}{\sin 𝐷}=\frac{𝑒}{\sin 𝐸}$$

$$\frac{𝑑}{\sin 𝐷}=\frac{𝑒}{\sin 60^{\circ }}$$

$$\frac{7}{\sin 𝐷}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$\frac{7}{\sin 𝐷}=\frac{9\cdot 2}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{7}{\sin 𝐷}=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{7}{\sin 𝐷}=6\sqrt{3}$$

$$\sin 𝐷=\frac{7}{6\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{18}$$

$$𝐷=\arcsin \left(\frac{7\sqrt{3}}{18}\right)$$

ATURAN COSINUS

Pengantar

Aturan kosinus adalah salah satu hukum dasar dalam trigonometri yang menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut. Aturan ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan segitiga, khususnya ketika kita tidak memiliki sudut siku-siku.

Bentuk Umum Aturan Kosinus

Dalam segitiga ABC dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut A, B, dan C masing-masing dinamakan a, b, dan c, aturan kosinus menyatakan:

$${𝑐}^2={𝑎}^2+{𝑏}^2-2𝑎𝑏\cos 𝐶$$

$${𝑏}^2={𝑎}^2+{𝑐}^2-2𝑎𝑐\cos 𝐵$$

$${𝑎}^2={𝑏}^2+{𝑐}^2-2𝑏𝑐\cos 𝐴$$

Di sini:

• $𝑎$, $𝑏$, dan $𝑐$ adalah panjang sisi-sisi segitiga.
• $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut.

Penggunaan Aturan Kosinus

Aturan kosinus dapat digunakan dalam berbagai situasi, termasuk:

1. Mencari panjang sisi segitiga: Jika kita tahu dua sisi dan sudut di antara keduanya, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk menemukan sisi lainnya.
2. Mencari besar sudut segitiga: Jika kita tahu ketiga sisi, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk menemukan salah satu sudut.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Mencari Panjang Sisi

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan:

• Sisi $𝑎=7$ cm
• Sisi $𝑏=24$ cm
• Sudut $𝐶=60^{\circ }$

Kita ingin mencari panjang sisi $𝑐$.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan kosinus:

$${𝑐}^2={𝑎}^2+{𝑏}^2-2𝑎𝑏\cos 𝐶$$

$${𝑐}^2=7^2+24^2-2\cdot 7\cdot 24\cdot \cos 60^{\circ }$$

$${𝑐}^2=49+576-2\cdot 7\cdot 24\cdot 0.5$$

$${𝑐}^2=49+576-168$$

$${𝑐}^2=457$$

$$𝑐=\sqrt{457}\approx 21.4\text{cm}$$

Contoh 2: Mencari Besar Sudut

Diketahui sebuah segitiga DEF dengan:

• Sisi $𝑑=8$ cm
• Sisi $𝑒=15$ cm
• Sisi $𝑓=17$ cm

Kita ingin mencari besar sudut $𝐷$F.

Langkah-langkah:

Gunakan aturan kosinus:

$${𝑓}^2={𝑑}^2+{𝑒}^2-2𝑑𝑒\cos 𝐹$$

$$17^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 𝐹$$

$$289=64+225-240\cos 𝐹$$

$$289=289-240\cos 𝐹$$

$$0=-240\cos 𝐹$$

$$\cos 𝐹=0$$

Sudut yang kosinusnya 0 adalah 90°. Jadi, sudut $𝐹=90^{\circ }$.

LUAS SEGITIGA

Pengantar

Dalam trigonometri, terdapat beberapa cara untuk menghitung luas segitiga. Metode ini berguna terutama ketika kita memiliki informasi tentang panjang sisi dan sudut segitiga. Berikut adalah beberapa cara yang umum digunakan:

1. Rumus Dasar dengan Alas dan Tinggi
2. Rumus Heron
3. Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

1. Rumus Dasar dengan Alas dan Tinggi

Rumus paling dasar untuk menghitung luas segitiga adalah menggunakan alas (base) dan tinggi (height):

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times \text{alas}\times \text{tinggi}$$

2. Rumus Heron

Rumus Heron digunakan ketika kita mengetahui panjang ketiga sisi segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Hitung setengah keliling segitiga ($𝑠$):

$$𝑠=\frac{𝑎+𝑏+𝑐}{2}$$

2. Gunakan rumus Heron untuk menghitung luas:

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\sqrt{𝑠(𝑠-𝑎)(𝑠-𝑏)(𝑠-𝑐)}$$

3. Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

Ketika kita mengetahui dua sisi dan sudut di antara keduanya, kita dapat menggunakan rumus trigonometri:

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times 𝑎\times 𝑏\times \sin 𝐶$$

Di sini:

• $𝑎$ dan $𝑏$ adalah dua sisi segitiga.
• $𝐶$ adalah sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut.

Contoh Penggunaan

Contoh 1: Menggunakan Rumus Dasar

Diketahui segitiga ABC dengan alas $𝑎=8$ cm dan tinggi $𝑡=5$ cm. Hitunglah luas segitiga tersebut.

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times 8\times 5=20{\text{cm}}^2$$

Contoh 2: Menggunakan Rumus Heron

Diketahui segitiga DEF dengan sisi-sisi $𝑑=5$ cm, $𝑒=6$ cm, dan $𝑓=7$ cm. Hitunglah luas segitiga tersebut menggunakan rumus Heron.

1. Hitung setengah keliling ($𝑠$):

$$𝑠=\frac{5+6+7}{2}=9$$

2. Hitung luas menggunakan rumus Heron:

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}=\sqrt{216}\approx 14.7{\text{cm}}^2$$

Contoh 3: Menggunakan Rumus Trigonometri Menggunakan Sinus

Diketahui segitiga PQR dengan sisi $𝑝=10$ cm, sisi $𝑞=12$ cm, dan sudut $𝑅=30^{\circ }$. Hitunglah luas segitiga tersebut.

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times 𝑝\times 𝑞\times \sin 𝑅$$

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times 10\times 12\times \sin 30^{\circ }$$

$$𝐿𝑢𝑎𝑠=\frac{1}{2}\times 10\times 12\times 0.5=30{\text{cm}}^2$$