LINGKARAN DAN TALI BUSUR

    Pak Gendon handak memasang lampu LED strip pada bianglala yang akan dipasangnya di sebuah pasar malam. Lampu tersebut membentuk segi enam beraturan. Jika diameter bianglala tersebut adalah 250 meter, bisakah kamu membantu pak Gendon menghitung panjang LED strip yang dibutuhkannya?

    LED strip yang akan dipasang pak Gendon menggambarkan enam tali busur sama panjang yang saling terhubung. Sehingga pada artikel ini kita akan mempelajari materi tentang lingkaran dan tali busur.

   LINGKARAN DAN TALI SEPATU BUSUR   

Teorema 4

Panjang dua buah tali busur pada sebuah lingkaran sama jika dan hanya jika jarak pusat ke tali busur ❲apotema❳ tersebut sama.

 

Pembuktian:

Diketahui AB = CD akan dibuktikan OE = OF

Perhatikan segitia AOB dan segitiga COD!

Diperoleh panjang OA = OB = OC = OD = jari-jari lingkaran, dan AB = CD

karena ketiga sisi dari kedua segitiga adalah sama, maka △AOB ≅ △COD

Sehingga tinggi kedua segitiga adalah sama OM = ON

__________________________

   SEGI EMPAT TALI BUSUR   

    Segi empat tali busur adalah bangun datar berupa segi empat yang terbentuk dari empat tali busur yang saling menyambung. Setiap sudut pada segi empat tali busur adalah sudut keliling lingkaran.

Teorema 5 (Teorema Ptolemeus)

Jumlah dari hasil kali panjang sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali panjang diagonalnya.

Pembuktian:

Buat titik K pada diagonal BD sehingga besar ∠CAD = ∠BAK!

   ⮚   Perhatikan bahwa △ABK sebangun dengan △ACD 

karena ∠CAD = ∠BAK dan ∠ACD = ∠ABK

❲sama-sama sudut keliling yang menghadap busur AD❳.

Dengan demikian berlaku:

   ⮚   Perhatikan bahwa △ADK sebangun dengan △ABC 

karena ∠DAK = ∠BAC dan ∠ADK = ∠ACB 

❲sama-sama sudut keliling yang menghadap busur AB❳.

Dengan demikian berlaku:

 

    ⮚   Jumlahkan persamaan ❲1❳ dan ❲2❳:

          AC ⨉ BK = AB ⨉ CD

          DK ⨉ AC = AD ⨉ BC  +

          ❲AC ⨉ BK❳ + ❲DK ⨉ AC❳ = ❲AB ⨉ CD❳ + ❲AD ⨉ BC❳

          → AC ❲BK + DK❳ = ❲AB ⨉ CD❳ + ❲AD ⨉ BC❳

          → AC ⨉ BD = ❲AB ⨉ CD❳ + ❲AD ⨉ BC❳

Teorema 6

Hasil kali bagian-bagian diagonalnya adalah sama.

Pembuktian:

Perhatikan segitiga BEC dan AED

∠ACB dan ∠ADB menghadap busur AB, maka besar ∠ACB = ∠ADB.

∠AED bertolak belakang dengan ∠BEC, maka besar ∠AED = ∠BEC.

∠DAE = ∠CBE

Karena ketiga sudut dari dua segitiga besarnya sama, maka △BEC ≅ △AED.

Jadi teorema terbukti

Teorema 7

Jumlah dua sudut saling berhadapan adalah 180°

Bisakah kamu membuktikan teorema 7 ini?

__________________________

BACA JUGA : BADAI MENGHADANG DI GUNUNG KEMBANG

   SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR   

Saling Berpotongan di Dalam Lingkaran

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah dari jumlah sudut pusat yang berada di depan dan belakangnya.

Saling Berpotongan di Luar Lingkaran

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran adalah setengah dari sudut pusat yang terletak diantara kedua tali busur tersebut.

__________________________

   CONTOH SOAL   

1. Sebuah segi empat tali busur ABCD diagonal AC berpotongan dengan BD di titik E. Panjang AE = 12 cm, AC = 22 cm, dan BE = 15 cm. Tentukan panjang BD!

Jawab: 

Diketahui :

AE = 12 cm

AC = 22 cm → CE = AC - AE = 22 - 12 = 10 cm

BE = 15

Teorema 6 :

AE ⨉ CE = BE ⨉ DE

→ DE = AE ⨉ CE = 12 ⨉ 10 = 8

                   BE            15

→ BD = BE + DE = 15 + 8 = 23

Jadi panjang BD adalah 23 cm.

2.  Perhatikan gambar berikut!

Berapakah besar sudut D?

Jawab:

Perhatikan Teorema 7!

★  ∠A + ∠C = 180°

     3x + 105°= 180°

     3x           = 180° - 105°

     3x           = 75°

       x           = 75°/3 

       x           = 25°

★ ∠B = 4X

    ∠B = 4⨉25°

    ∠B = 100°

★ ∠B + ∠D = 180°

             ∠D = 180° - B

             ∠D = 180° - 100°

             ∠D = 80°